解答・解説[4](2)
\[
y=4\sin x+ 3\cos x
\]
\(三角関数の合成より、\)
\begin{eqnarray*}
y&=&\sqrt{4^2+3^2}\sin (x+\alpha )\\[2mm]
y&=&\sqrt{25}\sin (x+\alpha )\\[2mm]
y&=&5\sin (x+\alpha )\\[2mm]
\end{eqnarray*}
\(ただし、\alphaは \sin\alpha=\frac{3}{5}, \cos\alpha=\frac{4}{5} (0<\alpha<\frac{\pi}{2}) を満たす角である。\)
\begin{eqnarray*}
\frac{\pi}{2} &\leqq& \qquad x &\leqq& \pi より \\
\frac{\pi}{2}+\alpha &\leqq& \quad x+\alpha &\leqq& \pi +\alpha\\
-\frac{3}{5} &\leqq& \ \sin(x+\alpha) &\leqq& \frac{4}{5} \\
-3 &\leqq&5\sin(x+\alpha)&\leqq& 4 \\
-3 &\leqq& \qquad y &\leqq& 4 \\
\end{eqnarray*}
\(よってこの関数の最大値は4、最小値は-3である。\)
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